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Physique mathématique

Des résultats exacts pour un modèle jouet de solitons en interaction


​Des théoriciens de l'IPhT ont pu calculer exactement et analyser des propriétés physiques à grande échelle d'un système macroscopique à partir d'interactions microscopiques dans le cas d'un modèle jouet représentant des structures analogues à des ondes et se propageant sans déformation (solitons).
Publié le 23 novembre 2022

À première vue, ce n'est qu'une guirlande lumineuse chatoyante mais c'est bien plus, en réalité. Grâce à un discret boîtier électronique, elle donne à voir le fonctionnement d'un « modèle jouet » inventé en 1990 par des physiciens théoriciens.

En y regardant de plus près, on voit défiler des « trains lumineux » de différentes longueurs à des vitesses proportionnelles à leur longueur. Les trains les plus longs rattrapent les plus courts, puis les dépassent. Au moment où ils les rejoignent, ils semblent se fragmenter et disparaître mais se reforment à l'identique dès que la « voie » est libre.

(c)CEA

Ces trains représentent en réalité des « solitons », des structures qui ont la particularité de se propager indéfiniment sans déformation. L'illustration la plus connue est le mascaret, une vague géante et rare, observable seulement sur certaines rivières mais il existe des solitons associés à d'autres types d'ondes (électromagnétiques par exemple).

Un automate cellulaire simple permet de réaliser cette simulation de solitons. Le box-ball system (BBS) repose sur des règles déterministes, très simples. Celles-ci peuvent être décrites à l'aide d'un transporteur qui, à chaque pas de temps, charge ou décharge des boules en parcourant le système composé d'une succession de boîtes. Le dépôt d'une boule dans une boîte ou son retrait est matérialisé par l'allumage ou l'extinction d'une diode de la guirlande.

Le BBS a ceci de remarquable qu'il conserve les nombres de solitons, ce qui lui confère une précieuse propriété mathématique (intégrabilité). 

En utilisant l'intégrabilité du modèle, les physiciens théoriciens de l'IPhT Grégoire Misguich et Vincent Pasquier et un collègue de l'Université de Tokyo ont montré comment déterminer plusieurs quantités liées aux courants de solitons et à leurs fluctuations. Parmi ces résultats, on peut citer la distribution de probabilités du nombre de boules traversant l'origine pendant un temps t, le courant rémanent à temps long créé par une perturbation (appelé poids de Drude) et certaines fonctions de corrélation associées aux courants de solitons.

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