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Les chemins hamiltoniens défient KPZ


​Des physiciens théoriciens montrent que les formules dites de KPZ reliant des modèles statistiques bidimensionnels, respectivement sur des réseaux réguliers et aléatoires, ne sont plus vérifiées pour les chemins hamiltoniens sur réseau. Une révision théorique s'impose !

Publié le 13 mars 2023

La physique statistique étudie des systèmes physiques possédant de très nombreux degrés de liberté. Pour des configurations particulières (aux points dits critiques), ces systèmes ont des propriétés se propageant à longue distance. Certains modèles statistiques sont naturellement critiques, sans aucun ajustement de paramètre, et leurs comportements sont universels et décrits par des lois de puissance (avec des exposants dits critiques).

C'est le cas des « chemins hamiltoniens sur réseau » qui, par définition, relient sans recoupement tous les nœuds d'un réseau.

Ainsi par exemple, si on introduit deux défauts distants de r dans un réseau, la statistique des chemins hamiltoniens (ou plus précisément la fonction de corrélation associée) varie avec r selon une loi de puissance. Le même type de raisonnement s'applique dans le cas de chemins ouverts dont les points de départ et d'arrivée sont distants de r : leur statistique varie encore avec r selon une loi de puissance (avec un autre exposant critique).

Or les physiciens théoriciens s'intéressent à la fois à des réseaux réguliers et à leurs homologues aléatoires car, selon l'objet de leur étude, l'une ou l'autre famille simplifie leur raisonnement.

Des formules dites de KPZ (nommées d'après leurs auteurs Knizhnik, Polyakov et Zamolodchikov) leur permettent de relier les exposants critiques de modèles statistiques, respectivement sur des réseaux bidimensionnels réguliers et aléatoires. Ces relations, vérifiées exactement dans un grand nombre de systèmes de mécanique statistique, ont maintenant un statut mathématique rigoureux, sous certaines hypothèses.

Une équipe de l'IPhT a étudié les chemins hamiltoniens sur un réseau bicubique, c'est-à-dire à la fois biparti (avec des nœuds de deux couleurs en alternance) et cubique (avec des nœuds à 3 embranchements), dans deux cas :

  • réseau régulier (en nid-d'abeilles),
  • réseau aléatoire.

Dans le cas du réseau régulier, les exposants critiques sont déterminés par la méthode classique dite du gaz de Coulomb (gaz bidimensionnel de charges électriques). Dans celui du réseau aléatoire, ils sont calculés, avec une grande précision, à partir du dénombrement exact des configurations de chemins hamiltoniens pour des réseaux de taille finie.

Les chercheurs montrent que, de manière inattendue, les relations de KPZ sont mises en défaut pour certains types d'exposants critiques, indiquant qu'un mécanisme nouveau est à l'œuvre.

Ils proposent un réajustement des formules KPZ, avec un nouveau paramètre qui semble rétablir la validité de ces relations (selon un procédé de « renormalisation »). Leur défi consiste maintenant à comprendre mathématiquement comment les contraintes géométriques particulières des chemins hamiltoniens peuvent influencer la statistique du réseau aléatoire biparti et mener à une telle renormalisation.

Ces travaux s'inscrivent dans le cadre général des recherches en gravité quantique à 2 dimensions, pour lesquelles les surfaces fluctuantes sont l'analogue de l'espace-temps soumis à l'influence gravitationnelle de masses cosmiques.

Lire l'actualité sur le site du CNRS.

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